解決{l}{y=1/2x+1}{2y+3x=-2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { 2 y + 3 x = - 2 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=-1$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{2}x。

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

將 \frac{x}{2} 加到方程式的兩邊。

$$y=\frac{1}{2}x+1$$

在另一個方程式 2y+3x=-2 中以 \frac{x}{2}+1 代入 y在方程式。

$$2\left(\frac{1}{2}x+1\right)+3x=-2$$

2 乘上 \frac{x}{2}+1。

$$x+2+3x=-2$$

將 x 加到 3x。

$$4x+2=-2$$

從方程式兩邊減去 2。

$$4x=-4$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=-1$$

在 y=\frac{1}{2}x+1 中以 -1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=\frac{1}{2}\left(-1\right)+1$$

\frac{1}{2} 乘上 -1。

$$y=-\frac{1}{2}+1$$

將 1 加到 -\frac{1}{2}。

$$y=\frac{1}{2}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{2}x。

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}+\frac{1}{8}\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{2}x。

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

讓 y 和 2y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$2y+2\left(-\frac{1}{2}\right)x=2,2y+3x=-2$$

化簡。

$$2y-x=2,2y+3x=-2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2y-x=2 減去 2y+3x=-2。

$$2y-2y-x-3x=2+2$$

將 2y 加到 -2y。 2y 和 -2y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-x-3x=2+2$$

將 -x 加到 -3x。

$$-4x=2+2$$

將 2 加到 2。

$$-4x=4$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=-1$$

在 2y+3x=-2 中以 -1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$2y+3\left(-1\right)=-2$$

3 乘上 -1。

$$2y-3=-2$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$2y=1$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=\frac{1}{2}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$