解決{l}{y+4x-6=0}{3x-y=7} |Microsoft數學求解器

解 y、x

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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y+4x-6=0,-y+3x=7

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

y+4x-6=0

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

y+4x=6

將 6 加到方程式的兩邊。

y=-4x+6

從方程式兩邊減去 4x。

-\left(-4x+6\right)+3x=7

在另一個方程式 -y+3x=7 中以 -4x+6 代入 y在方程式。

4x-6+3x=7

-1 乘上 -4x+6。

7x-6=7

將 4x 加到 3x。

7x=13

將 6 加到方程式的兩邊。

x=\frac{13}{7}

將兩邊同時除以 7。

y=-4\times \frac{13}{7}+6

在 y=-4x+6 中以 \frac{13}{7} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

y=-\frac{52}{7}+6

-4 乘上 \frac{13}{7}。

y=-\frac{10}{7}

將 6 加到 -\frac{52}{7}。

y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}

現已成功解出系統。

y+4x-6=0,-y+3x=7

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-4\left(-1\right)}&\frac{1}{3-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 6-\frac{4}{7}\times 7\\\frac{1}{7}\times 6+\frac{1}{7}\times 7\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\\\frac{13}{7}\end{matrix}\right)

計算。

y=-\frac{10}{7},x=\frac{13}{7}

解出矩陣元素 y 和 x。

y+4x-6=0,-y+3x=7

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

-y-4x-\left(-6\right)=0,-y+3x=7

讓 y 和 -y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

-y-4x+6=0,-y+3x=7

化簡。

-y+y-4x-3x+6=-7