解決{l}{y+3x=56}{x+4y=34} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { y + 3 x = 56 } \\ { x + 4 y = 34 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x = \frac{190}{11} = 17\frac{3}{11} \approx 17.272727273$$

$$y = \frac{46}{11} = 4\frac{2}{11} \approx 4.181818182$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y+3x=56,4y+x=34$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y+3x=56$$

從方程式兩邊減去 3x。

$$y=-3x+56$$

在另一個方程式 4y+x=34 中以 -3x+56 代入 y在方程式。

$$4\left(-3x+56\right)+x=34$$

4 乘上 -3x+56。

$$-12x+224+x=34$$

將 -12x 加到 x。

$$-11x+224=34$$

從方程式兩邊減去 224。

$$-11x=-190$$

將兩邊同時除以 -11。

$$x=\frac{190}{11}$$

在 y=-3x+56 中以 \frac{190}{11} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=-3\times \frac{190}{11}+56$$

-3 乘上 \frac{190}{11}。

$$y=-\frac{570}{11}+56$$

將 56 加到 -\frac{570}{11}。

$$y=\frac{46}{11}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y+3x=56,4y+x=34$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 4}&-\frac{3}{1-3\times 4}\\-\frac{4}{1-3\times 4}&\frac{1}{1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\34\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 56+\frac{3}{11}\times 34\\\frac{4}{11}\times 56-\frac{1}{11}\times 34\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{11}\\\frac{190}{11}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y+3x=56,4y+x=34$$

讓 y 和 4y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$4y+4\times 3x=4\times 56,4y+x=34$$

化簡。

$$4y+12x=224,4y+x=34$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4y+12x=224 減去 4y+x=34。

$$4y-4y+12x-x=224-34$$

將 4y 加到 -4y。 4y 和 -4y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$12x-x=224-34$$

將 12x 加到 -x。

$$11x=224-34$$

將 224 加到 -34。

$$11x=190$$

將兩邊同時除以 11。

$$x=\frac{190}{11}$$

在 4y+x=34 中以 \frac{190}{11} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$4y+\frac{190}{11}=34$$

從方程式兩邊減去 \frac{190}{11}。

$$4y=\frac{184}{11}$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=\frac{46}{11}$$

現已成功解出系統。

$$y=\frac{46}{11},x=\frac{190}{11}$$