解決{l}{x-y=4}{y=-x-8} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 4 } \\ { y = - x - 8 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-2$$

$$y=-6$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 新增 x 至兩側。

$$y+x=-8$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=4,x+y=-8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=4$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$x=y+4$$

在另一個方程式 x+y=-8 中以 y+4 代入 x在方程式。

$$y+4+y=-8$$

將 y 加到 y。

$$2y+4=-8$$

從方程式兩邊減去 4。

$$2y=-12$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=-6$$

在 x=y+4 中以 -6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-6+4$$

將 4 加到 -6。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=-6$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 新增 x 至兩側。

$$y+x=-8$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-y=4,x+y=-8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{2}\left(-8\right)\\-\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-2,y=-6$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 新增 x 至兩側。

$$y+x=-8$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-y=4,x+y=-8$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x-y=4 減去 x+y=-8。

$$x-x-y-y=4+8$$

將 x 加到 -x。 x 和 -x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-y-y=4+8$$

將 -y 加到 -y。

$$-2y=4+8$$

將 4 加到 8。

$$-2y=12$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=-6$$

在 x+y=-8 中以 -6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-6=-8$$

將 6 加到方程式的兩邊。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=-6$$