解決{l}{x-y=4}{5x-2y=2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 4 } \\ { 5 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-2$$

$$y=-6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=4,5x-2y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=4$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$x=y+4$$

在另一個方程式 5x-2y=2 中以 y+4 代入 x在方程式。

$$5\left(y+4\right)-2y=2$$

5 乘上 y+4。

$$5y+20-2y=2$$

將 5y 加到 -2y。

$$3y+20=2$$

從方程式兩邊減去 20。

$$3y=-18$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=-6$$

在 x=y+4 中以 -6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-6+4$$

將 4 加到 -6。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=-6$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-y=4,5x-2y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\5&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{-2-\left(-5\right)}&\frac{1}{-2-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 2\\-\frac{5}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-2,y=-6$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-y=4,5x-2y=2$$

讓 x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$5x+5\left(-1\right)y=5\times 4,5x-2y=2$$

化簡。

$$5x-5y=20,5x-2y=2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x-5y=20 減去 5x-2y=2。

$$5x-5x-5y+2y=20-2$$

將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-5y+2y=20-2$$

將 -5y 加到 2y。

$$-3y=20-2$$

將 20 加到 -2。

$$-3y=18$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=-6$$

在 5x-2y=2 中以 -6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x-2\left(-6\right)=2$$

-2 乘上 -6。

$$5x+12=2$$

從方程式兩邊減去 12。

$$5x=-10$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=-6$$