解決{l}{x-y=21}{x-y/20=16} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{299}{19} = 15\frac{14}{19} \approx 15.736842105$$

$$y = -\frac{100}{19} = -5\frac{5}{19} \approx -5.263157895$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 20。

$$20x-y=320$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=21,20x-y=320$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=21$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$x=y+21$$

在另一個方程式 20x-y=320 中以 y+21 代入 x在方程式。

$$20\left(y+21\right)-y=320$$

20 乘上 y+21。

$$20y+420-y=320$$

將 20y 加到 -y。

$$19y+420=320$$

從方程式兩邊減去 420。

$$19y=-100$$

將兩邊同時除以 19。

$$y=-\frac{100}{19}$$

在 x=y+21 中以 -\frac{100}{19} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{100}{19}+21$$

將 21 加到 -\frac{100}{19}。

$$x=\frac{299}{19}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 20。

$$20x-y=320$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-y=21,20x-y=320$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-20\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{20}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\320\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 21+\frac{1}{19}\times 320\\-\frac{20}{19}\times 21+\frac{1}{19}\times 320\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{299}{19}\\-\frac{100}{19}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 對方程式兩邊同時乘上 20。

$$20x-y=320$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-y=21,20x-y=320$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x-y=21 減去 20x-y=320。

$$x-20x-y+y=21-320$$

將 -y 加到 y。 -y 和 y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$x-20x=21-320$$

將 x 加到 -20x。

$$-19x=21-320$$

將 21 加到 -320。

$$-19x=-299$$

將兩邊同時除以 -19。

$$x=\frac{299}{19}$$

在 20x-y=320 中以 \frac{299}{19} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$20\times \frac{299}{19}-y=320$$

20 乘上 \frac{299}{19}。

$$\frac{5980}{19}-y=320$$

從方程式兩邊減去 \frac{5980}{19}。

$$-y=\frac{100}{19}$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=-\frac{100}{19}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{299}{19},y=-\frac{100}{19}$$