解決{l}{x-y=-6}{y=-3x+2} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x - y = - 6 } \\ { y = - 3 x + 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-1$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 新增 3x 至兩側。

$$y+3x=2$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=-6,3x+y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=-6$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$x=y-6$$

在另一個方程式 3x+y=2 中以 y-6 代入 x在方程式。

$$3\left(y-6\right)+y=2$$

3 乘上 y-6。

$$3y-18+y=2$$

將 3y 加到 y。

$$4y-18=2$$

將 18 加到方程式的兩邊。

$$4y=20$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=5$$

在 x=y-6 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=5-6$$

將 -6 加到 5。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=5$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 新增 3x 至兩側。

$$y+3x=2$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-y=-6,3x+y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-6\right)+\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{3}{4}\left(-6\right)+\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-1,y=5$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 新增 3x 至兩側。

$$y+3x=2$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-y=-6,3x+y=2$$

讓 x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$3x+3\left(-1\right)y=3\left(-6\right),3x+y=2$$

化簡。

$$3x-3y=-18,3x+y=2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x-3y=-18 減去 3x+y=2。

$$3x-3x-3y-y=-18-2$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-3y-y=-18-2$$

將 -3y 加到 -y。

$$-4y=-18-2$$

將 -18 加到 -2。

$$-4y=-20$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=5$$

在 3x+y=2 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+5=2$$

從方程式兩邊減去 5。

$$3x=-3$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=5$$