解決{l}{x-8y=10}{-5x+10y=10} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x - 8 y = 10 } \\ { - 5 x + 10 y = 10 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-6$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-8y=10,-5x+10y=10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-8y=10$$

將 8y 加到方程式的兩邊。

$$x=8y+10$$

在另一個方程式 -5x+10y=10 中以 8y+10 代入 x在方程式。

$$-5\left(8y+10\right)+10y=10$$

-5 乘上 8y+10。

$$-40y-50+10y=10$$

將 -40y 加到 10y。

$$-30y-50=10$$

將 50 加到方程式的兩邊。

$$-30y=60$$

將兩邊同時除以 -30。

$$y=-2$$

在 x=8y+10 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=8\left(-2\right)+10$$

8 乘上 -2。

$$x=-16+10$$

將 10 加到 -16。

$$x=-6$$

現已成功解出系統。

$$x=-6,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-8y=10,-5x+10y=10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\-5&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{-8}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}&\frac{1}{10-\left(-8\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{15}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 10-\frac{4}{15}\times 10\\-\frac{1}{6}\times 10-\frac{1}{30}\times 10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-6,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-8y=10,-5x+10y=10$$

讓 x 和 -5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-5x-5\left(-8\right)y=-5\times 10,-5x+10y=10$$

化簡。

$$-5x+40y=-50,-5x+10y=10$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -5x+40y=-50 減去 -5x+10y=10。

$$-5x+5x+40y-10y=-50-10$$

將 -5x 加到 5x。 -5x 和 5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$40y-10y=-50-10$$

將 40y 加到 -10y。

$$30y=-50-10$$

將 -50 加到 -10。

$$30y=-60$$

將兩邊同時除以 30。

$$y=-2$$

在 -5x+10y=10 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-5x+10\left(-2\right)=10$$

10 乘上 -2。

$$-5x-20=10$$

將 20 加到方程式的兩邊。

$$-5x=30$$

將兩邊同時除以 -5。

$$x=-6$$

現已成功解出系統。

$$x=-6,y=-2$$