解決{l}{x-4y=4}{7x-7y=-14} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x - 4 y = 4 } \\ { 7 x - 7 y = - 14 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-4$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-4y=4,7x-7y=-14$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-4y=4$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$x=4y+4$$

在另一個方程式 7x-7y=-14 中以 4+4y 代入 x在方程式。

$$7\left(4y+4\right)-7y=-14$$

7 乘上 4+4y。

$$28y+28-7y=-14$$

將 28y 加到 -7y。

$$21y+28=-14$$

從方程式兩邊減去 28。

$$21y=-42$$

將兩邊同時除以 21。

$$y=-2$$

在 x=4y+4 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=4\left(-2\right)+4$$

4 乘上 -2。

$$x=-8+4$$

將 4 加到 -8。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-4y=4,7x-7y=-14$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\7&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-4\times 7\right)}&-\frac{-4}{-7-\left(-4\times 7\right)}\\-\frac{7}{-7-\left(-4\times 7\right)}&\frac{1}{-7-\left(-4\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{21}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-14\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 4+\frac{4}{21}\left(-14\right)\\-\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{21}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-4,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-4y=4,7x-7y=-14$$

讓 x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$7x+7\left(-4\right)y=7\times 4,7x-7y=-14$$

化簡。

$$7x-28y=28,7x-7y=-14$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 7x-28y=28 減去 7x-7y=-14。

$$7x-7x-28y+7y=28+14$$

將 7x 加到 -7x。 7x 和 -7x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-28y+7y=28+14$$

將 -28y 加到 7y。

$$-21y=28+14$$

將 28 加到 14。

$$-21y=42$$

將兩邊同時除以 -21。

$$y=-2$$

在 7x-7y=-14 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x-7\left(-2\right)=-14$$

-7 乘上 -2。

$$7x+14=-14$$

從方程式兩邊減去 14。

$$7x=-28$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=-2$$