解決{l}{x-3.5y=2}{x-2y=16} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3.5 y = 2 } \\ { x - 2 y = 16 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{104}{3} = 34\frac{2}{3} \approx 34.666666667$$

$$y = \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3} \approx 9.333333333$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-3.5y=2,x-2y=16$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-3.5y=2$$

將 \frac{7y}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=3.5y+2$$

在另一個方程式 x-2y=16 中以 \frac{7y}{2}+2 代入 x在方程式。

$$3.5y+2-2y=16$$

將 \frac{7y}{2} 加到 -2y。

$$1.5y+2=16$$

從方程式兩邊減去 2。

$$1.5y=14$$

對方程式的兩邊同時除以 1.5，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{28}{3}$$

在 x=3.5y+2 中以 \frac{28}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=3.5\times \frac{28}{3}+2$$

3.5 乘上 \frac{28}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{98}{3}+2$$

將 2 加到 \frac{98}{3}。

$$x=\frac{104}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{104}{3},y=\frac{28}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-3.5y=2,x-2y=16$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3.5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-3.5\right)}&-\frac{-3.5}{-2-\left(-3.5\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-3.5\right)}&\frac{1}{-2-\left(-3.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}&\frac{7}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\16\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\times 2+\frac{7}{3}\times 16\\-\frac{2}{3}\times 2+\frac{2}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{104}{3}\\\frac{28}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{104}{3},y=\frac{28}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-3.5y=2,x-2y=16$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x-3.5y=2 減去 x-2y=16。

$$x-x-3.5y+2y=2-16$$

將 x 加到 -x。 x 和 -x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-3.5y+2y=2-16$$

將 -\frac{7y}{2} 加到 2y。

$$-1.5y=2-16$$

將 2 加到 -16。

$$-1.5y=-14$$

對方程式的兩邊同時除以 -1.5，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{28}{3}$$

在 x-2y=16 中以 \frac{28}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-2\times \frac{28}{3}=16$$

-2 乘上 \frac{28}{3}。

$$x-\frac{56}{3}=16$$

將 \frac{56}{3} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{104}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{104}{3},y=\frac{28}{3}$$