解決{l}{x-3y=7}{3x-3y=15} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 y = 7 } \\ { 3 x - 3 y = 15 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=4$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-3y=7,3x-3y=15$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-3y=7$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$x=3y+7$$

在另一個方程式 3x-3y=15 中以 3y+7 代入 x在方程式。

$$3\left(3y+7\right)-3y=15$$

3 乘上 3y+7。

$$9y+21-3y=15$$

將 9y 加到 -3y。

$$6y+21=15$$

從方程式兩邊減去 21。

$$6y=-6$$

將兩邊同時除以 6。

$$y=-1$$

在 x=3y+7 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=3\left(-1\right)+7$$

3 乘上 -1。

$$x=-3+7$$

將 7 加到 -3。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-3y=7,3x-3y=15$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-3\\3&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{-3-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{-3-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{-3-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\15\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}\times 15\\-\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{6}\times 15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=4,y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-3y=7,3x-3y=15$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x-3y=7 減去 3x-3y=15。

$$x-3x-3y+3y=7-15$$

將 -3y 加到 3y。 -3y 和 3y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$x-3x=7-15$$

將 x 加到 -3x。

$$-2x=7-15$$

將 7 加到 -15。

$$-2x=-8$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=4$$

在 3x-3y=15 中以 4 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$3\times 4-3y=15$$

3 乘上 4。

$$12-3y=15$$

從方程式兩邊減去 12。

$$-3y=3$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=-1$$