解決{l}{x-3=y}{37-3x=y} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { 37 - 3 x = y } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=10$$

$$y=7$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-3-y=0$$

新增 3 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$x-y=3$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$37-3x-y=0$$

從兩邊減去 37。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$-3x-y=-37$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=3$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$x=y+3$$

在另一個方程式 -3x-y=-37 中以 y+3 代入 x在方程式。

$$-3\left(y+3\right)-y=-37$$

-3 乘上 y+3。

$$-3y-9-y=-37$$

將 -3y 加到 -y。

$$-4y-9=-37$$

將 9 加到方程式的兩邊。

$$-4y=-28$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=7$$

在 x=y+3 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=7+3$$

將 3 加到 7。

$$x=10$$

現已成功解出系統。

$$x=10,y=7$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-3-y=0$$

新增 3 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$x-y=3$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$37-3x-y=0$$

從兩邊減去 37。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$-3x-y=-37$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\\-\frac{3}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=10,y=7$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x-3-y=0$$

新增 3 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$x-y=3$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$37-3x-y=0$$

從兩邊減去 37。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$-3x-y=-37$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x-y=3 減去 -3x-y=-37。

$$x+3x-y+y=3+37$$

將 -y 加到 y。 -y 和 y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$x+3x=3+37$$

將 x 加到 3x。

$$4x=3+37$$

將 3 加到 37。

$$4x=40$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=10$$

在 -3x-y=-37 中以 10 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-3\times 10-y=-37$$

-3 乘上 10。

$$-30-y=-37$$

將 30 加到方程式的兩邊。

$$-y=-7$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=7$$

現已成功解出系統。

$$x=10,y=7$$