Solve {l}{x^2+y^2=4}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656\text{, }y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656$$

$$x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656\text{, }y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656$$

使用代換和二次方程式公式的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=1,y^{2}+x^{2}=4$$

對 x+y=1 解出 x，方法為將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=1$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+1$$

在另一個方程式 y^{2}+x^{2}=4 中以 -y+1 代入 x在方程式。

$$y^{2}+\left(-y+1\right)^{2}=4$$

對 -y+1 平方。

$$y^{2}+y^{2}-2y+1=4$$

將 y^{2} 加到 y^{2}。

$$2y^{2}-2y+1=4$$

從方程式兩邊減去 4。

$$2y^{2}-2y-3=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1+1\left(-1\right)^{2} 代入 a，將 1\times 1\left(-1\right)\times 2 代入 b，以及將 -3 代入 c。

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

對 1\times 1\left(-1\right)\times 2 平方。

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

-4 乘上 1+1\left(-1\right)^{2}。

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

-8 乘上 -3。

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+24}}{2\times 2}$$

將 4 加到 24。

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{28}}{2\times 2}$$

取 28 的平方根。

$$y=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

1\times 1\left(-1\right)\times 2 的相反數是 2。

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

2 乘上 1+1\left(-1\right)^{2}。

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}。 將 2 加到 2\sqrt{7}。

$$y=\frac{2\sqrt{7}+2}{4}$$

2+2\sqrt{7} 除以 4。

$$y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}。 從 2 減去 2\sqrt{7}。

$$y=\frac{2-2\sqrt{7}}{4}$$

2-2\sqrt{7} 除以 4。

$$y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$

y 有兩種答案: \frac{1+\sqrt{7}}{2} 和 \frac{1-\sqrt{7}}{2}。在方程式 x=-y+1 中以 \frac{1+\sqrt{7}}{2} 代入 y 以解出滿足這兩個方程式的 x 結果。

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1$$

現在在方程式 x=-y+1 中以 \frac{1-\sqrt{7}}{2} 代入 y 取得結果，然後找出滿足這兩個方程式的 x 解。

$$x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1,y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\text{ or }x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1,y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$