解決{l}{x=3y(-10)}{y=x/3(-10)} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x = 3 y ( - 10 ) } \\ { y = \frac { x } { 3 } ( - 10 ) } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 將 3 乘上 -10 得到 -30。

$$x=-30y$$

在另一個方程式 10x+3y=0 中以 -30y 代入 x在方程式。

$$10\left(-30\right)y+3y=0$$

10 乘上 -30y。

$$-300y+3y=0$$

將 -300y 加到 3y。

$$-297y=0$$

將兩邊同時除以 -297。

$$y=0$$

在 x=-30y 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=0$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 將 3 乘上 -10 得到 -30。

$$x=-30y$$

新增 30y 至兩側。

$$x+30y=0$$

考慮第二個方程式。 運算式 \frac{x}{3}\left(-10\right) 為最簡分數。

$$y=\frac{-x\times 10}{3}$$

將 -1 乘上 10 得到 -10。

$$y=\frac{-10x}{3}$$

從兩邊減去 \frac{-10x}{3}。

$$y-\frac{-10x}{3}=0$$

對方程式兩邊同時乘上 3。

$$3y+10x=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+30y=0,10x+3y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&30\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&30\\10&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&30\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&30\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&30\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&30\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&30\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-30\times 10}&-\frac{30}{3-30\times 10}\\-\frac{10}{3-30\times 10}&\frac{1}{3-30\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{99}&\frac{10}{99}\\\frac{10}{297}&-\frac{1}{297}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=0$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 將 3 乘上 -10 得到 -30。

$$x=-30y$$

新增 30y 至兩側。

$$x+30y=0$$

考慮第二個方程式。 運算式 \frac{x}{3}\left(-10\right) 為最簡分數。

$$y=\frac{-x\times 10}{3}$$

將 -1 乘上 10 得到 -10。

$$y=\frac{-10x}{3}$$

從兩邊減去 \frac{-10x}{3}。

$$y-\frac{-10x}{3}=0$$

對方程式兩邊同時乘上 3。

$$3y+10x=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+30y=0,10x+3y=0$$

讓 x 和 10x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 10，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$10x+10\times 30y=0,10x+3y=0$$

化簡。

$$10x+300y=0,10x+3y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10x+300y=0 減去 10x+3y=0。

$$10x-10x+300y-3y=0$$

將 10x 加到 -10x。 10x 和 -10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$300y-3y=0$$

將 300y 加到 -3y。

$$297y=0$$

將兩邊同時除以 297。

$$y=0$$

在 10x+3y=0 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$10x=0$$

將兩邊同時除以 10。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=0$$