解決{l}{x+y=74}{40x+60y=3660} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 74 } \\ { 40 x + 60 y = 3660 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=39$$

$$y=35$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=74$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+74$$

在另一個方程式 40x+60y=3660 中以 -y+74 代入 x在方程式。

$$40\left(-y+74\right)+60y=3660$$

40 乘上 -y+74。

$$-40y+2960+60y=3660$$

將 -40y 加到 60y。

$$20y+2960=3660$$

從方程式兩邊減去 2960。

$$20y=700$$

將兩邊同時除以 20。

$$y=35$$

在 x=-y+74 中以 35 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-35+74$$

將 74 加到 -35。

$$x=39$$

現已成功解出系統。

$$x=39,y=35$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{60-40}&-\frac{1}{60-40}\\-\frac{40}{60-40}&\frac{1}{60-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-\frac{1}{20}\\-2&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\3660\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 74-\frac{1}{20}\times 3660\\-2\times 74+\frac{1}{20}\times 3660\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\35\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=39,y=35$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=74,40x+60y=3660$$

讓 x 和 40x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 40，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$40x+40y=40\times 74,40x+60y=3660$$

化簡。

$$40x+40y=2960,40x+60y=3660$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 40x+40y=2960 減去 40x+60y=3660。

$$40x-40x+40y-60y=2960-3660$$

將 40x 加到 -40x。 40x 和 -40x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$40y-60y=2960-3660$$

將 40y 加到 -60y。

$$-20y=2960-3660$$

將 2960 加到 -3660。

$$-20y=-700$$

將兩邊同時除以 -20。

$$y=35$$

在 40x+60y=3660 中以 35 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$40x+60\times 35=3660$$

60 乘上 35。

$$40x+2100=3660$$

從方程式兩邊減去 2100。

$$40x=1560$$

將兩邊同時除以 40。

$$x=39$$

現已成功解出系統。

$$x=39,y=35$$