解決{l}{x+y=72}{x=63y} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 72 } \\ { x = 63 y } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{567}{8} = 70\frac{7}{8} = 70.875$$

$$y = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} = 1.125$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 63y。

$$x-63y=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=72,x-63y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=72$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+72$$

在另一個方程式 x-63y=0 中以 -y+72 代入 x在方程式。

$$-y+72-63y=0$$

將 -y 加到 -63y。

$$-64y+72=0$$

從方程式兩邊減去 72。

$$-64y=-72$$

將兩邊同時除以 -64。

$$y=\frac{9}{8}$$

在 x=-y+72 中以 \frac{9}{8} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{9}{8}+72$$

將 72 加到 -\frac{9}{8}。

$$x=\frac{567}{8}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{567}{8},y=\frac{9}{8}$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 63y。

$$x-63y=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=72,x-63y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-63\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{63}{-63-1}&-\frac{1}{-63-1}\\-\frac{1}{-63-1}&\frac{1}{-63-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{1}{64}&-\frac{1}{64}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{64}\times 72\\\frac{1}{64}\times 72\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{567}{8}\\\frac{9}{8}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{567}{8},y=\frac{9}{8}$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 63y。

$$x-63y=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=72,x-63y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x+y=72 減去 x-63y=0。

$$x-x+y+63y=72$$

將 x 加到 -x。 x 和 -x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y+63y=72$$

將 y 加到 63y。

$$64y=72$$

將兩邊同時除以 64。

$$y=\frac{9}{8}$$

在 x-63y=0 中以 \frac{9}{8} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-63\times \frac{9}{8}=0$$

-63 乘上 \frac{9}{8}。

$$x-\frac{567}{8}=0$$

將 \frac{567}{8} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{567}{8}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{567}{8},y=\frac{9}{8}$$