解決{l}{x+y=69}{2x+y=81} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 81 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=12$$

$$y=57$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=69,2x+y=81$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=69$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+69$$

在另一個方程式 2x+y=81 中以 -y+69 代入 x在方程式。

$$2\left(-y+69\right)+y=81$$

2 乘上 -y+69。

$$-2y+138+y=81$$

將 -2y 加到 y。

$$-y+138=81$$

從方程式兩邊減去 138。

$$-y=-57$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=57$$

在 x=-y+69 中以 57 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-57+69$$

將 69 加到 -57。

$$x=12$$

現已成功解出系統。

$$x=12,y=57$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=69,2x+y=81$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-69+81\\2\times 69-81\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\57\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=12,y=57$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=69,2x+y=81$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x+y=69 減去 2x+y=81。

$$x-2x+y-y=69-81$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$x-2x=69-81$$

將 x 加到 -2x。

$$-x=69-81$$

將 69 加到 -81。

$$-x=-12$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=12$$

在 2x+y=81 中以 12 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$2\times 12+y=81$$

2 乘上 12。

$$24+y=81$$

從方程式兩邊減去 24。

$$y=57$$

現已成功解出系統。

$$x=12,y=57$$