解決{l}{x+y=500}{25x+35y=14500} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 500 } \\ { 25 x + 35 y = 14500 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=300$$

$$y=200$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=500,25x+35y=14500$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=500$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+500$$

在另一個方程式 25x+35y=14500 中以 -y+500 代入 x在方程式。

$$25\left(-y+500\right)+35y=14500$$

25 乘上 -y+500。

$$-25y+12500+35y=14500$$

將 -25y 加到 35y。

$$10y+12500=14500$$

從方程式兩邊減去 12500。

$$10y=2000$$

將兩邊同時除以 10。

$$y=200$$

在 x=-y+500 中以 200 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-200+500$$

將 500 加到 -200。

$$x=300$$

現已成功解出系統。

$$x=300,y=200$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=500,25x+35y=14500$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\14500\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\14500\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\14500\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\14500\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{35-25}&-\frac{1}{35-25}\\-\frac{25}{35-25}&\frac{1}{35-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\14500\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\14500\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 500-\frac{1}{10}\times 14500\\-\frac{5}{2}\times 500+\frac{1}{10}\times 14500\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\200\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=300,y=200$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=500,25x+35y=14500$$

讓 x 和 25x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 25，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$25x+25y=25\times 500,25x+35y=14500$$

化簡。

$$25x+25y=12500,25x+35y=14500$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 25x+25y=12500 減去 25x+35y=14500。

$$25x-25x+25y-35y=12500-14500$$

將 25x 加到 -25x。 25x 和 -25x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$25y-35y=12500-14500$$

將 25y 加到 -35y。

$$-10y=12500-14500$$

將 12500 加到 -14500。

$$-10y=-2000$$

將兩邊同時除以 -10。

$$y=200$$

在 25x+35y=14500 中以 200 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$25x+35\times 200=14500$$

35 乘上 200。

$$25x+7000=14500$$

從方程式兩邊減去 7000。

$$25x=7500$$

將兩邊同時除以 25。

$$x=300$$

現已成功解出系統。

$$x=300,y=200$$