解決{l}{x+y=28}{x-2y=3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 28 } \\ { x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{59}{3} = 19\frac{2}{3} \approx 19.666666667$$

$$y = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} \approx 8.333333333$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=28,x-2y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=28$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+28$$

在另一個方程式 x-2y=3 中以 -y+28 代入 x在方程式。

$$-y+28-2y=3$$

將 -y 加到 -2y。

$$-3y+28=3$$

從方程式兩邊減去 28。

$$-3y=-25$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=\frac{25}{3}$$

在 x=-y+28 中以 \frac{25}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{25}{3}+28$$

將 28 加到 -\frac{25}{3}。

$$x=\frac{59}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{59}{3},y=\frac{25}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=28,x-2y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 28+\frac{1}{3}\times 3\\\frac{1}{3}\times 28-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{3}\\\frac{25}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{59}{3},y=\frac{25}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=28,x-2y=3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x+y=28 減去 x-2y=3。

$$x-x+y+2y=28-3$$

將 x 加到 -x。 x 和 -x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y+2y=28-3$$

將 y 加到 2y。

$$3y=28-3$$

將 28 加到 -3。

$$3y=25$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=\frac{25}{3}$$

在 x-2y=3 中以 \frac{25}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-2\times \frac{25}{3}=3$$

-2 乘上 \frac{25}{3}。

$$x-\frac{50}{3}=3$$

將 \frac{50}{3} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{59}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{59}{3},y=\frac{25}{3}$$