解 x、y
x = \frac{380}{3} = 126\frac{2}{3} \approx 126.666666667
y = \frac{370}{3} = 123\frac{1}{3} \approx 123.333333333
圖表
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x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
x+y=250
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
x=-y+250
從方程式兩邊減去 y。
\frac{1}{19}\left(-y+250\right)+\frac{1}{10}y=19
在另一個方程式 \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19 中以 -y+250 代入 x在方程式。
-\frac{1}{19}y+\frac{250}{19}+\frac{1}{10}y=19
\frac{1}{19} 乘上 -y+250。
\frac{9}{190}y+\frac{250}{19}=19
將 -\frac{y}{19} 加到 \frac{y}{10}。
\frac{9}{190}y=\frac{111}{19}
從方程式兩邊減去 \frac{250}{19}。
y=\frac{370}{3}
對方程式的兩邊同時除以 \frac{9}{190}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{370}{3}+250
在 x=-y+250 中以 \frac{370}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{380}{3}
將 250 加到 -\frac{370}{3}。
x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}
現已成功解出系統。
x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&-\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\\-\frac{\frac{1}{19}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}&-\frac{190}{9}\\-\frac{10}{9}&\frac{190}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}\times 250-\frac{190}{9}\times 19\\-\frac{10}{9}\times 250+\frac{190}{9}\times 19\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{380}{3}\\\frac{370}{3}\end{matrix}\right)
計算。
x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}
解出矩陣元素 x 和 y。
x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{1}{19}\times 250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19
讓 x 和 \frac{x}{19} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{19}，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。
\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19},\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19
化簡。
\frac{1}{19}x-\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 \frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19} 減去 \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19。
\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19
將 \frac{x}{19} 加到 -\frac{x}{19}。 \frac{x}{19} 和 -\frac{x}{19} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-\frac{9}{190}y=\frac{250}{19}-19
將 \frac{y}{19} 加到 -\frac{y}{10}。
-\frac{9}{190}y=-\frac{111}{19}
將 \frac{250}{19} 加到 -19。
y=\frac{370}{3}
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{9}{190}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}\times \frac{370}{3}=19
在 \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19 中以 \frac{370}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
\frac{1}{19}x+\frac{37}{3}=19
\frac{1}{10} 乘上 \frac{370}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。
\frac{1}{19}x=\frac{20}{3}
從方程式兩邊減去 \frac{37}{3}。
x=\frac{380}{3}
將兩邊同時乘上 19。
x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}