解決{l}{x+y=240}{0.12x+0.06y=240*0.08} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 240 } \\ { 0.12 x + 0.06 y = 240 \times 0.08 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=80$$

$$y=160$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=240$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+240$$

在另一個方程式 0.12x+0.06y=19.2 中以 -y+240 代入 x在方程式。

$$0.12\left(-y+240\right)+0.06y=19.2$$

0.12 乘上 -y+240。

$$-0.12y+28.8+0.06y=19.2$$

將 -\frac{3y}{25} 加到 \frac{3y}{50}。

$$-0.06y+28.8=19.2$$

從方程式兩邊減去 28.8。

$$-0.06y=-9.6$$

對方程式的兩邊同時除以 -0.06，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=160$$

在 x=-y+240 中以 160 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-160+240$$

將 240 加到 -160。

$$x=80$$

現已成功解出系統。

$$x=80,y=160$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.06}{0.06-0.12}&-\frac{1}{0.06-0.12}\\-\frac{0.12}{0.06-0.12}&\frac{1}{0.06-0.12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{50}{3}\\2&-\frac{50}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-240+\frac{50}{3}\times 19.2\\2\times 240-\frac{50}{3}\times 19.2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\160\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=80,y=160$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

讓 x 和 \frac{3x}{25} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 0.12，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$0.12x+0.12y=0.12\times 240,0.12x+0.06y=19.2$$

化簡。

$$0.12x+0.12y=28.8,0.12x+0.06y=19.2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 0.12x+0.12y=28.8 減去 0.12x+0.06y=19.2。

$$0.12x-0.12x+0.12y-0.06y=\frac{144-96}{5}$$

將 \frac{3x}{25} 加到 -\frac{3x}{25}。 \frac{3x}{25} 和 -\frac{3x}{25} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$0.12y-0.06y=\frac{144-96}{5}$$

將 \frac{3y}{25} 加到 -\frac{3y}{50}。

$$0.06y=\frac{144-96}{5}$$

將 28.8 與 -19.2 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$0.06y=9.6$$

對方程式的兩邊同時除以 0.06，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=160$$

在 0.12x+0.06y=19.2 中以 160 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$0.12x+0.06\times 160=19.2$$

0.06 乘上 160。

$$0.12x+9.6=19.2$$

從方程式兩邊減去 9.6。

$$0.12x=9.6$$

對方程式的兩邊同時除以 0.12，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=80$$

現已成功解出系統。

$$x=80,y=160$$