解決{l}{x+y=17}{2.6x+3.5y=55} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 17 } \\ { 2.6 x + 3.5 y = 55 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=5$$

$$y=12$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=17$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+17$$

在另一個方程式 2.6x+3.5y=55 中以 -y+17 代入 x在方程式。

$$2.6\left(-y+17\right)+3.5y=55$$

2.6 乘上 -y+17。

$$-2.6y+44.2+3.5y=55$$

將 -\frac{13y}{5} 加到 \frac{7y}{2}。

$$0.9y+44.2=55$$

從方程式兩邊減去 44.2。

$$0.9y=10.8$$

對方程式的兩邊同時除以 0.9，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=12$$

在 x=-y+17 中以 12 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-12+17$$

將 17 加到 -12。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=12$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3.5}{3.5-2.6}&-\frac{1}{3.5-2.6}\\-\frac{2.6}{3.5-2.6}&\frac{1}{3.5-2.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{9}&-\frac{10}{9}\\-\frac{26}{9}&\frac{10}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{9}\times 17-\frac{10}{9}\times 55\\-\frac{26}{9}\times 17+\frac{10}{9}\times 55\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=5,y=12$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

讓 x 和 \frac{13x}{5} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2.6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$2.6x+2.6y=2.6\times 17,2.6x+3.5y=55$$

化簡。

$$2.6x+2.6y=44.2,2.6x+3.5y=55$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2.6x+2.6y=44.2 減去 2.6x+3.5y=55。

$$2.6x-2.6x+2.6y-3.5y=44.2-55$$

將 \frac{13x}{5} 加到 -\frac{13x}{5}。 \frac{13x}{5} 和 -\frac{13x}{5} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2.6y-3.5y=44.2-55$$

將 \frac{13y}{5} 加到 -\frac{7y}{2}。

$$-0.9y=44.2-55$$

將 44.2 加到 -55。

$$-0.9y=-10.8$$

對方程式的兩邊同時除以 -0.9，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=12$$

在 2.6x+3.5y=55 中以 12 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2.6x+3.5\times 12=55$$

3.5 乘上 12。

$$2.6x+42=55$$

從方程式兩邊減去 42。

$$2.6x=13$$

對方程式的兩邊同時除以 2.6，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=12$$