解決{l}{x+y=150}{x+.13y=63*100} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 150 } \\ { x + .13 y = 63 \times 100 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{209350}{29} = 7218\frac{28}{29} \approx 7218.965517241$$

$$y = -\frac{205000}{29} = -7068\frac{28}{29} \approx -7068.965517241$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=150,x+0.13y=6300$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=150$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+150$$

在另一個方程式 x+0.13y=6300 中以 -y+150 代入 x在方程式。

$$-y+150+0.13y=6300$$

將 -y 加到 \frac{13y}{100}。

$$-0.87y+150=6300$$

從方程式兩邊減去 150。

$$-0.87y=6150$$

對方程式的兩邊同時除以 -0.87，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{205000}{29}$$

在 x=-y+150 中以 -\frac{205000}{29} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\left(-\frac{205000}{29}\right)+150$$

-1 乘上 -\frac{205000}{29}。

$$x=\frac{205000}{29}+150$$

將 150 加到 \frac{205000}{29}。

$$x=\frac{209350}{29}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{209350}{29},y=-\frac{205000}{29}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=150,x+0.13y=6300$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&0.13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}150\\6300\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\1&0.13\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&0.13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150\\6300\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150\\6300\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150\\6300\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.13}{0.13-1}&-\frac{1}{0.13-1}\\-\frac{1}{0.13-1}&\frac{1}{0.13-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}150\\6300\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{87}&\frac{100}{87}\\\frac{100}{87}&-\frac{100}{87}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}150\\6300\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{87}\times 150+\frac{100}{87}\times 6300\\\frac{100}{87}\times 150-\frac{100}{87}\times 6300\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{209350}{29}\\-\frac{205000}{29}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{209350}{29},y=-\frac{205000}{29}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=150,x+0.13y=6300$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x+y=150 減去 x+0.13y=6300。

$$x-x+y-0.13y=150-6300$$

將 x 加到 -x。 x 和 -x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y-0.13y=150-6300$$

將 y 加到 -\frac{13y}{100}。

$$0.87y=150-6300$$

將 150 加到 -6300。

$$0.87y=-6150$$

對方程式的兩邊同時除以 0.87，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{205000}{29}$$

在 x+0.13y=6300 中以 -\frac{205000}{29} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+0.13\left(-\frac{205000}{29}\right)=6300$$

0.13 乘上 -\frac{205000}{29} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x-\frac{26650}{29}=6300$$

將 \frac{26650}{29} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{209350}{29}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{209350}{29},y=-\frac{205000}{29}$$