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解 x、y
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x+y=130,20x+5y=1925
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
x+y=130
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
x=-y+130
從方程式兩邊減去 y。
20\left(-y+130\right)+5y=1925
在另一個方程式 20x+5y=1925 中以 -y+130 代入 x在方程式。
-20y+2600+5y=1925
20 乘上 -y+130。
-15y+2600=1925
將 -20y 加到 5y。
-15y=-675
從方程式兩邊減去 2600。
y=45
將兩邊同時除以 -15。
x=-45+130
在 x=-y+130 中以 45 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
x=85
將 130 加到 -45。
x=85,y=45
現已成功解出系統。
x+y=130,20x+5y=1925
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-20}&-\frac{1}{5-20}\\-\frac{20}{5-20}&\frac{1}{5-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 130+\frac{1}{15}\times 1925\\\frac{4}{3}\times 130-\frac{1}{15}\times 1925\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\45\end{matrix}\right)
計算。
x=85,y=45
解出矩陣元素 x 和 y。
x+y=130,20x+5y=1925
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
20x+20y=20\times 130,20x+5y=1925
讓 x 和 20x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 20,以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。
20x+20y=2600,20x+5y=1925
化簡。
20x-20x+20y-5y=2600-1925
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 20x+20y=2600 減去 20x+5y=1925。
20y-5y=2600-1925
將 20x 加到 -20x。 20x 和 -20x 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
15y=2600-1925
將 20y 加到 -5y。
15y=675
將 2600 加到 -1925。
y=45
將兩邊同時除以 15。
20x+5\times 45=1925
在 20x+5y=1925 中以 45 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
20x+225=1925
5 乘上 45。
20x=1700
從方程式兩邊減去 225。
x=85
將兩邊同時除以 20。
x=85,y=45
現已成功解出系統。