解決{l}{x+y=107}{4x+2y=284}hline0k |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 107 } \\ { 4 x + 2 y = 284 } \\ \hline 0 k \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=35$$

$$y=72$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=107,4x+2y=284$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=107$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+107$$

在另一個方程式 4x+2y=284 中以 -y+107 代入 x在方程式。

$$4\left(-y+107\right)+2y=284$$

4 乘上 -y+107。

$$-4y+428+2y=284$$

將 -4y 加到 2y。

$$-2y+428=284$$

從方程式兩邊減去 428。

$$-2y=-144$$

將兩邊同時除以 -2。

$$y=72$$

在 x=-y+107 中以 72 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-72+107$$

將 107 加到 -72。

$$x=35$$

現已成功解出系統。

$$x=35,y=72$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=107,4x+2y=284$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{1}{2-4}\\-\frac{4}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\2&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}107\\284\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-107+\frac{1}{2}\times 284\\2\times 107-\frac{1}{2}\times 284\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\72\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=35,y=72$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=107,4x+2y=284$$

讓 x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$4x+4y=4\times 107,4x+2y=284$$

化簡。

$$4x+4y=428,4x+2y=284$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x+4y=428 減去 4x+2y=284。

$$4x-4x+4y-2y=428-284$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y-2y=428-284$$

將 4y 加到 -2y。

$$2y=428-284$$

將 428 加到 -284。

$$2y=144$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=72$$

在 4x+2y=284 中以 72 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+2\times 72=284$$

2 乘上 72。

$$4x+144=284$$

從方程式兩邊減去 144。

$$4x=140$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=35$$

現已成功解出系統。

$$x=35,y=72$$