解決{l}{x+y=10000}{0.0180x+0.0100y=0.0150(10000} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 10000 } \\ { 0.0180 x + 0.0100 y = 0.0150 ( 10000 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-12498.125$$

$$y=22498.125$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=10000,0.018x+0.01y=0.015$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=10000$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+10000$$

在另一個方程式 0.018x+0.01y=0.015 中以 -y+10000 代入 x在方程式。

$$0.018\left(-y+10000\right)+0.01y=0.015$$

0.018 乘上 -y+10000。

$$-0.018y+180+0.01y=0.015$$

將 -\frac{9y}{500} 加到 \frac{y}{100}。

$$-0.008y+180=0.015$$

從方程式兩邊減去 180。

$$-0.008y=-179.985$$

將兩邊同時乘上 -125。

$$y=22498.125$$

在 x=-y+10000 中以 22498.125 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-22498.125+10000$$

將 10000 加到 -22498.125。

$$x=-12498.125$$

現已成功解出系統。

$$x=-12498.125,y=22498.125$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=10000,0.018x+0.01y=0.015$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.018&0.01\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10000\\0.015\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\0.018&0.01\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.018&0.01\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.018&0.01\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.018&0.01\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10000\\0.015\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.018&0.01\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10000\\0.015\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.018&0.01\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10000\\0.015\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.01}{0.01-0.018}&-\frac{1}{0.01-0.018}\\-\frac{0.018}{0.01-0.018}&\frac{1}{0.01-0.018}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10000\\0.015\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1.25&125\\2.25&-125\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10000\\0.015\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1.25\times 10000+125\times 0.015\\2.25\times 10000-125\times 0.015\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12498.125\\22498.125\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-12498.125,y=22498.125$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=10000,0.018x+0.01y=0.015$$

讓 x 和 \frac{9x}{500} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 0.018，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$0.018x+0.018y=0.018\times 10000,0.018x+0.01y=0.015$$

化簡。

$$0.018x+0.018y=180,0.018x+0.01y=0.015$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 0.018x+0.018y=180 減去 0.018x+0.01y=0.015。

$$0.018x-0.018x+0.018y-0.01y=180-0.015$$

將 \frac{9x}{500} 加到 -\frac{9x}{500}。 \frac{9x}{500} 和 -\frac{9x}{500} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$0.018y-0.01y=180-0.015$$

將 \frac{9y}{500} 加到 -\frac{y}{100}。

$$0.008y=180-0.015$$

將 180 加到 -0.015。

$$0.008y=179.985$$

將兩邊同時乘上 125。

$$y=22498.125$$

在 0.018x+0.01y=0.015 中以 22498.125 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$0.018x+0.01\times 22498.125=0.015$$

0.01 乘上 22498.125 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$0.018x+224.98125=0.015$$

從方程式兩邊減去 224.98125。

$$0.018x=-224.96625$$

對方程式的兩邊同時除以 0.018，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=-12498.125$$

現已成功解出系統。

$$x=-12498.125,y=22498.125$$