解決{l}{x+y=100}{60x+70y=630} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 60 x + 70 y = 630 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=637$$

$$y=-537$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=100,60x+70y=630$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=100$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+100$$

在另一個方程式 60x+70y=630 中以 -y+100 代入 x在方程式。

$$60\left(-y+100\right)+70y=630$$

60 乘上 -y+100。

$$-60y+6000+70y=630$$

將 -60y 加到 70y。

$$10y+6000=630$$

從方程式兩邊減去 6000。

$$10y=-5370$$

將兩邊同時除以 10。

$$y=-537$$

在 x=-y+100 中以 -537 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\left(-537\right)+100$$

-1 乘上 -537。

$$x=537+100$$

將 100 加到 537。

$$x=637$$

現已成功解出系統。

$$x=637,y=-537$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=100,60x+70y=630$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{70}{70-60}&-\frac{1}{70-60}\\-\frac{60}{70-60}&\frac{1}{70-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&-\frac{1}{10}\\-6&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\630\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 100-\frac{1}{10}\times 630\\-6\times 100+\frac{1}{10}\times 630\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}637\\-537\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=637,y=-537$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=100,60x+70y=630$$

讓 x 和 60x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 60，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$60x+60y=60\times 100,60x+70y=630$$

化簡。

$$60x+60y=6000,60x+70y=630$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 60x+60y=6000 減去 60x+70y=630。

$$60x-60x+60y-70y=6000-630$$

將 60x 加到 -60x。 60x 和 -60x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$60y-70y=6000-630$$

將 60y 加到 -70y。

$$-10y=6000-630$$

將 6000 加到 -630。

$$-10y=5370$$

將兩邊同時除以 -10。

$$y=-537$$

在 60x+70y=630 中以 -537 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$60x+70\left(-537\right)=630$$

70 乘上 -537。

$$60x-37590=630$$

將 37590 加到方程式的兩邊。

$$60x=38220$$

將兩邊同時除以 60。

$$x=637$$

現已成功解出系統。

$$x=637,y=-537$$