解決{l}{x+y=10}{x*5=y} |Microsoft數學求解器

解 x, y

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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x\times 5-y=0

考慮第二個方程式。從兩邊減去 y。

x+y=10,5x-y=0

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

x+y=10

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

x=-y+10

從方程式兩邊減去 y。

5\left(-y+10\right)-y=0

在另一個方程式 5x-y=0 中以 -y+10 代入 x在方程式。

-5y+50-y=0

5 乘上 -y+10。

-6y+50=0

將 -5y 加到 -y。

-6y=-50

從方程式兩邊減去 50。

y=\frac{25}{3}

將兩邊同時除以 -6。

x=-\frac{25}{3}+10

在 x=-y+10 中以 \frac{25}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=\frac{5}{3}

將 10 加到 -\frac{25}{3}。

x=\frac{5}{3},y=\frac{25}{3}

現已成功解出系統。

x\times 5-y=0

考慮第二個方程式。從兩邊減去 y。

x+y=10,5x-y=0

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-5}&-\frac{1}{-1-5}\\-\frac{5}{-1-5}&\frac{1}{-1-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10\\\frac{5}{6}\times 10\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{25}{3}\end{matrix}\right)

計算。

x=\frac{5}{3},y=\frac{25}{3}

解出矩陣元素 x 和 y。

x\times 5-y=0

考慮第二個方程式。從兩邊減去 y。

x+y=10,5x-y=0

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

5x+5y=5\times 10,5x-y=0