解決{l}{x+7y=796}{3x+5y=464} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + 7 y = 796 } \\ { 3 x + 5 y = 464 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{183}{4} = -45\frac{3}{4} = -45.75$$

$$y = \frac{481}{4} = 120\frac{1}{4} = 120.25$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+7y=796,3x+5y=464$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+7y=796$$

從方程式兩邊減去 7y。

$$x=-7y+796$$

在另一個方程式 3x+5y=464 中以 -7y+796 代入 x在方程式。

$$3\left(-7y+796\right)+5y=464$$

3 乘上 -7y+796。

$$-21y+2388+5y=464$$

將 -21y 加到 5y。

$$-16y+2388=464$$

從方程式兩邊減去 2388。

$$-16y=-1924$$

將兩邊同時除以 -16。

$$y=\frac{481}{4}$$

在 x=-7y+796 中以 \frac{481}{4} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-7\times \frac{481}{4}+796$$

-7 乘上 \frac{481}{4}。

$$x=-\frac{3367}{4}+796$$

將 796 加到 -\frac{3367}{4}。

$$x=-\frac{183}{4}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{183}{4},y=\frac{481}{4}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+7y=796,3x+5y=464$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&7\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}796\\464\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&7\\3&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&7\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}796\\464\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}796\\464\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}796\\464\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-7\times 3}&-\frac{7}{5-7\times 3}\\-\frac{3}{5-7\times 3}&\frac{1}{5-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}796\\464\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{16}&\frac{7}{16}\\\frac{3}{16}&-\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}796\\464\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{16}\times 796+\frac{7}{16}\times 464\\\frac{3}{16}\times 796-\frac{1}{16}\times 464\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{183}{4}\\\frac{481}{4}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{183}{4},y=\frac{481}{4}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+7y=796,3x+5y=464$$

讓 x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$3x+3\times 7y=3\times 796,3x+5y=464$$

化簡。

$$3x+21y=2388,3x+5y=464$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x+21y=2388 減去 3x+5y=464。

$$3x-3x+21y-5y=2388-464$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$21y-5y=2388-464$$

將 21y 加到 -5y。

$$16y=2388-464$$

將 2388 加到 -464。

$$16y=1924$$

將兩邊同時除以 16。

$$y=\frac{481}{4}$$

在 3x+5y=464 中以 \frac{481}{4} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+5\times \frac{481}{4}=464$$

5 乘上 \frac{481}{4}。

$$3x+\frac{2405}{4}=464$$

從方程式兩邊減去 \frac{2405}{4}。

$$3x=-\frac{549}{4}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=-\frac{183}{4}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{183}{4},y=\frac{481}{4}$$