解決{l}{x+6y=27}{7x-3y=9} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + 6 y = 27 } \\ { 7 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+6y=27$$

從方程式兩邊減去 6y。

$$x=-6y+27$$

在另一個方程式 7x-3y=9 中以 -6y+27 代入 x在方程式。

$$7\left(-6y+27\right)-3y=9$$

7 乘上 -6y+27。

$$-42y+189-3y=9$$

將 -42y 加到 -3y。

$$-45y+189=9$$

從方程式兩邊減去 189。

$$-45y=-180$$

將兩邊同時除以 -45。

$$y=4$$

在 x=-6y+27 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-6\times 4+27$$

-6 乘上 4。

$$x=-24+27$$

將 27 加到 -24。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-6\times 7}&-\frac{6}{-3-6\times 7}\\-\frac{7}{-3-6\times 7}&\frac{1}{-3-6\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{2}{15}\\\frac{7}{45}&-\frac{1}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 27+\frac{2}{15}\times 9\\\frac{7}{45}\times 27-\frac{1}{45}\times 9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

讓 x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$7x+7\times 6y=7\times 27,7x-3y=9$$

化簡。

$$7x+42y=189,7x-3y=9$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 7x+42y=189 減去 7x-3y=9。

$$7x-7x+42y+3y=189-9$$

將 7x 加到 -7x。 7x 和 -7x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$42y+3y=189-9$$

將 42y 加到 3y。

$$45y=189-9$$

將 189 加到 -9。

$$45y=180$$

將兩邊同時除以 45。

$$y=4$$

在 7x-3y=9 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x-3\times 4=9$$

-3 乘上 4。

$$7x-12=9$$

將 12 加到方程式的兩邊。

$$7x=21$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=4$$