解決{l}{x+6y=19}{2x+2y=18} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + 6 y = 19 } \\ { 2 x + 2 y = 18 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=7$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+6y=19,2x+2y=18$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+6y=19$$

從方程式兩邊減去 6y。

$$x=-6y+19$$

在另一個方程式 2x+2y=18 中以 -6y+19 代入 x在方程式。

$$2\left(-6y+19\right)+2y=18$$

2 乘上 -6y+19。

$$-12y+38+2y=18$$

將 -12y 加到 2y。

$$-10y+38=18$$

從方程式兩邊減去 38。

$$-10y=-20$$

將兩邊同時除以 -10。

$$y=2$$

在 x=-6y+19 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-6\times 2+19$$

-6 乘上 2。

$$x=-12+19$$

將 19 加到 -12。

$$x=7$$

現已成功解出系統。

$$x=7,y=2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+6y=19,2x+2y=18$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-6\times 2}&-\frac{6}{2-6\times 2}\\-\frac{2}{2-6\times 2}&\frac{1}{2-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 19+\frac{3}{5}\times 18\\\frac{1}{5}\times 19-\frac{1}{10}\times 18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=7,y=2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+6y=19,2x+2y=18$$

讓 x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$2x+2\times 6y=2\times 19,2x+2y=18$$

化簡。

$$2x+12y=38,2x+2y=18$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x+12y=38 減去 2x+2y=18。

$$2x-2x+12y-2y=38-18$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$12y-2y=38-18$$

將 12y 加到 -2y。

$$10y=38-18$$

將 38 加到 -18。

$$10y=20$$

將兩邊同時除以 10。

$$y=2$$

在 2x+2y=18 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+2\times 2=18$$

2 乘上 2。

$$2x+4=18$$

從方程式兩邊減去 4。

$$2x=14$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=7$$

現已成功解出系統。

$$x=7,y=2$$