解決{l}{x+5y=1}{3x+4y=4} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 y = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 4 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+5y=1$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$x=-5y+1$$

在另一個方程式 3x+4y=4 中以 -5y+1 代入 x在方程式。

$$3\left(-5y+1\right)+4y=4$$

3 乘上 -5y+1。

$$-15y+3+4y=4$$

將 -15y 加到 4y。

$$-11y+3=4$$

從方程式兩邊減去 3。

$$-11y=1$$

將兩邊同時除以 -11。

$$y=-\frac{1}{11}$$

在 x=-5y+1 中以 -\frac{1}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-5\left(-\frac{1}{11}\right)+1$$

-5 乘上 -\frac{1}{11}。

$$x=\frac{5}{11}+1$$

將 1 加到 \frac{5}{11}。

$$x=\frac{16}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-5\times 3}&-\frac{5}{4-5\times 3}\\-\frac{3}{4-5\times 3}&\frac{1}{4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}+\frac{5}{11}\times 4\\\frac{3}{11}-\frac{1}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+5y=1,3x+4y=4$$

讓 x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$3x+3\times 5y=3,3x+4y=4$$

化簡。

$$3x+15y=3,3x+4y=4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x+15y=3 減去 3x+4y=4。

$$3x-3x+15y-4y=3-4$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$15y-4y=3-4$$

將 15y 加到 -4y。

$$11y=3-4$$

將 3 加到 -4。

$$11y=-1$$

將兩邊同時除以 11。

$$y=-\frac{1}{11}$$

在 3x+4y=4 中以 -\frac{1}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+4\left(-\frac{1}{11}\right)=4$$

4 乘上 -\frac{1}{11}。

$$3x-\frac{4}{11}=4$$

將 \frac{4}{11} 加到方程式的兩邊。

$$3x=\frac{48}{11}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{16}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{1}{11}$$