解決{l}{x+4y=41}{4x+5y=65} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + 4 y = 41 } \\ { 4 x + 5 y = 65 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=5$$

$$y=9$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+4y=41$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$x=-4y+41$$

在另一個方程式 4x+5y=65 中以 -4y+41 代入 x在方程式。

$$4\left(-4y+41\right)+5y=65$$

4 乘上 -4y+41。

$$-16y+164+5y=65$$

將 -16y 加到 5y。

$$-11y+164=65$$

從方程式兩邊減去 164。

$$-11y=-99$$

將兩邊同時除以 -11。

$$y=9$$

在 x=-4y+41 中以 9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-4\times 9+41$$

-4 乘上 9。

$$x=-36+41$$

將 41 加到 -36。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=9$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4\times 4}&-\frac{4}{5-4\times 4}\\-\frac{4}{5-4\times 4}&\frac{1}{5-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}\times 41+\frac{4}{11}\times 65\\\frac{4}{11}\times 41-\frac{1}{11}\times 65\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=5,y=9$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

讓 x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$4x+4\times 4y=4\times 41,4x+5y=65$$

化簡。

$$4x+16y=164,4x+5y=65$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x+16y=164 減去 4x+5y=65。

$$4x-4x+16y-5y=164-65$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$16y-5y=164-65$$

將 16y 加到 -5y。

$$11y=164-65$$

將 164 加到 -65。

$$11y=99$$

將兩邊同時除以 11。

$$y=9$$

在 4x+5y=65 中以 9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+5\times 9=65$$

5 乘上 9。

$$4x+45=65$$

從方程式兩邊減去 45。

$$4x=20$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=9$$