解決{l}{x+4y=2}{-x-3y=3} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + 4 y = 2 } \\ { - x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-18$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+4y=2,-x-3y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+4y=2$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$x=-4y+2$$

在另一個方程式 -x-3y=3 中以 -4y+2 代入 x在方程式。

$$-\left(-4y+2\right)-3y=3$$

-1 乘上 -4y+2。

$$4y-2-3y=3$$

將 4y 加到 -3y。

$$y-2=3$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$y=5$$

在 x=-4y+2 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-4\times 5+2$$

-4 乘上 5。

$$x=-20+2$$

將 2 加到 -20。

$$x=-18$$

現已成功解出系統。

$$x=-18,y=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+4y=2,-x-3y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{-3-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-3-4\left(-1\right)}&\frac{1}{-3-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 2-4\times 3\\2+3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-18,y=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+4y=2,-x-3y=3$$

讓 x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-x-4y=-2,-x-3y=3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -x-4y=-2 減去 -x-3y=3。

$$-x+x-4y+3y=-2-3$$

將 -x 加到 x。 -x 和 x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4y+3y=-2-3$$

將 -4y 加到 3y。

$$-y=-2-3$$

將 -2 加到 -3。

$$-y=-5$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=5$$

在 -x-3y=3 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x-3\times 5=3$$

-3 乘上 5。

$$-x-15=3$$

將 15 加到方程式的兩邊。

$$-x=18$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=-18$$

現已成功解出系統。

$$x=-18,y=5$$