Solve {l}{x+3y=7}{3x+y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 7 } \\ { 3 x + y = 17 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+3y=7,3x+y=17$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+3y=7$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$x=-3y+7$$

在另一個方程式 3x+y=17 中以 -3y+7 代入 x在方程式。

$$3\left(-3y+7\right)+y=17$$

3 乘上 -3y+7。

$$-9y+21+y=17$$

將 -9y 加到 y。

$$-8y+21=17$$

從方程式兩邊減去 21。

$$-8y=-4$$

將兩邊同時除以 -8。

$$y=\frac{1}{2}$$

在 x=-3y+7 中以 \frac{1}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-3\times \frac{1}{2}+7$$

-3 乘上 \frac{1}{2}。

$$x=-\frac{3}{2}+7$$

將 7 加到 -\frac{3}{2}。

$$x=\frac{11}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+3y=7,3x+y=17$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 3}&-\frac{3}{1-3\times 3}\\-\frac{3}{1-3\times 3}&\frac{1}{1-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{8}\times 17\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\times 17\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+3y=7,3x+y=17$$

讓 x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$3x+3\times 3y=3\times 7,3x+y=17$$

化簡。

$$3x+9y=21,3x+y=17$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x+9y=21 減去 3x+y=17。

$$3x-3x+9y-y=21-17$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$9y-y=21-17$$

將 9y 加到 -y。

$$8y=21-17$$

將 21 加到 -17。

$$8y=4$$

將兩邊同時除以 8。

$$y=\frac{1}{2}$$

在 3x+y=17 中以 \frac{1}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+\frac{1}{2}=17$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{2}。

$$3x=\frac{33}{2}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{11}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$