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解 x、y
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x+3y=26,7x-2y=44
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
x+3y=26
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
x=-3y+26
從方程式兩邊減去 3y。
7\left(-3y+26\right)-2y=44
在另一個方程式 7x-2y=44 中以 -3y+26 代入 x在方程式。
-21y+182-2y=44
7 乘上 -3y+26。
-23y+182=44
將 -21y 加到 -2y。
-23y=-138
從方程式兩邊減去 182。
y=6
將兩邊同時除以 -23。
x=-3\times 6+26
在 x=-3y+26 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
x=-18+26
-3 乘上 6。
x=8
將 26 加到 -18。
x=8,y=6
現已成功解出系統。
x+3y=26,7x-2y=44
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 7}&-\frac{3}{-2-3\times 7}\\-\frac{7}{-2-3\times 7}&\frac{1}{-2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\\\frac{7}{23}&-\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}\times 26+\frac{3}{23}\times 44\\\frac{7}{23}\times 26-\frac{1}{23}\times 44\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)
計算。
x=8,y=6
解出矩陣元素 x 和 y。
x+3y=26,7x-2y=44
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
7x+7\times 3y=7\times 26,7x-2y=44
讓 x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7,以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。
7x+21y=182,7x-2y=44
化簡。
7x-7x+21y+2y=182-44
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 7x+21y=182 減去 7x-2y=44。
21y+2y=182-44
將 7x 加到 -7x。 7x 和 -7x 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
23y=182-44
將 21y 加到 2y。
23y=138
將 182 加到 -44。
y=6
將兩邊同時除以 23。
7x-2\times 6=44
在 7x-2y=44 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
7x-12=44
-2 乘上 6。
7x=56
將 12 加到方程式的兩邊。
x=8
將兩邊同時除以 7。
x=8,y=6
現已成功解出系統。