解決{l}{x+3y=26}{7x-2y=44} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 26 } \\ { 7 x - 2 y = 44 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=8$$

$$y=6$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+3y=26,7x-2y=44$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+3y=26$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$x=-3y+26$$

在另一個方程式 7x-2y=44 中以 -3y+26 代入 x在方程式。

$$7\left(-3y+26\right)-2y=44$$

7 乘上 -3y+26。

$$-21y+182-2y=44$$

將 -21y 加到 -2y。

$$-23y+182=44$$

從方程式兩邊減去 182。

$$-23y=-138$$

將兩邊同時除以 -23。

$$y=6$$

在 x=-3y+26 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-3\times 6+26$$

-3 乘上 6。

$$x=-18+26$$

將 26 加到 -18。

$$x=8$$

現已成功解出系統。

$$x=8,y=6$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+3y=26,7x-2y=44$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 7}&-\frac{3}{-2-3\times 7}\\-\frac{7}{-2-3\times 7}&\frac{1}{-2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\\\frac{7}{23}&-\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}\times 26+\frac{3}{23}\times 44\\\frac{7}{23}\times 26-\frac{1}{23}\times 44\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=8,y=6$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+3y=26,7x-2y=44$$

讓 x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$7x+7\times 3y=7\times 26,7x-2y=44$$

化簡。

$$7x+21y=182,7x-2y=44$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 7x+21y=182 減去 7x-2y=44。

$$7x-7x+21y+2y=182-44$$

將 7x 加到 -7x。 7x 和 -7x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$21y+2y=182-44$$

將 21y 加到 2y。

$$23y=182-44$$

將 182 加到 -44。

$$23y=138$$

將兩邊同時除以 23。

$$y=6$$

在 7x-2y=44 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x-2\times 6=44$$

-2 乘上 6。

$$7x-12=44$$

將 12 加到方程式的兩邊。

$$7x=56$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=8$$

現已成功解出系統。

$$x=8,y=6$$