解決{l}{x+2y=8}{x-3y=9} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 8 } \\ { x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{42}{5} = 8\frac{2}{5} = 8.4$$

$$y=-\frac{1}{5}=-0.2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+2y=8,x-3y=9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+2y=8$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$x=-2y+8$$

在另一個方程式 x-3y=9 中以 -2y+8 代入 x在方程式。

$$-2y+8-3y=9$$

將 -2y 加到 -3y。

$$-5y+8=9$$

從方程式兩邊減去 8。

$$-5y=1$$

將兩邊同時除以 -5。

$$y=-\frac{1}{5}$$

在 x=-2y+8 中以 -\frac{1}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\left(-\frac{1}{5}\right)+8$$

-2 乘上 -\frac{1}{5}。

$$x=\frac{2}{5}+8$$

將 8 加到 \frac{2}{5}。

$$x=\frac{42}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{42}{5},y=-\frac{1}{5}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+2y=8,x-3y=9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{2}{-3-2}\\-\frac{1}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 9\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{1}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{5}\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{42}{5},y=-\frac{1}{5}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+2y=8,x-3y=9$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x+2y=8 減去 x-3y=9。

$$x-x+2y+3y=8-9$$

將 x 加到 -x。 x 和 -x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y+3y=8-9$$

將 2y 加到 3y。

$$5y=8-9$$

將 8 加到 -9。

$$5y=-1$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=-\frac{1}{5}$$

在 x-3y=9 中以 -\frac{1}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-3\left(-\frac{1}{5}\right)=9$$

-3 乘上 -\frac{1}{5}。

$$x+\frac{3}{5}=9$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{5}。

$$x=\frac{42}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{42}{5},y=-\frac{1}{5}$$