解 x、y
x=-2
y=3
圖表
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y-2x=7
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2x。
x+2y=4,-2x+y=7
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
x+2y=4
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
x=-2y+4
從方程式兩邊減去 2y。
-2\left(-2y+4\right)+y=7
在另一個方程式 -2x+y=7 中以 -2y+4 代入 x在方程式。
4y-8+y=7
-2 乘上 -2y+4。
5y-8=7
將 4y 加到 y。
5y=15
將 8 加到方程式的兩邊。
y=3
將兩邊同時除以 5。
x=-2\times 3+4
在 x=-2y+4 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-6+4
-2 乘上 3。
x=-2
將 4 加到 -6。
x=-2,y=3
現已成功解出系統。
y-2x=7
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2x。
x+2y=4,-2x+y=7
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4-\frac{2}{5}\times 7\\\frac{2}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 7\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)
計算。
x=-2,y=3
解出矩陣元素 x 和 y。
y-2x=7
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2x。
x+2y=4,-2x+y=7
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-2x-2\times 2y=-2\times 4,-2x+y=7
讓 x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。
-2x-4y=-8,-2x+y=7
化簡。
-2x+2x-4y-y=-8-7
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2x-4y=-8 減去 -2x+y=7。
-4y-y=-8-7
將 -2x 加到 2x。 -2x 和 2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-5y=-8-7
將 -4y 加到 -y。
-5y=-15
將 -8 加到 -7。
y=3
將兩邊同時除以 -5。
-2x+3=7
在 -2x+y=7 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
-2x=4
從方程式兩邊減去 3。
x=-2
將兩邊同時除以 -2。
x=-2,y=3
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}