解決{l}{x+2y=3}{5x-y=10} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 3 } \\ { 5 x - y = 10 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{23}{11} = 2\frac{1}{11} \approx 2.090909091$$

$$y=\frac{5}{11}\approx 0.454545455$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+2y=3,5x-y=10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+2y=3$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$x=-2y+3$$

在另一個方程式 5x-y=10 中以 -2y+3 代入 x在方程式。

$$5\left(-2y+3\right)-y=10$$

5 乘上 -2y+3。

$$-10y+15-y=10$$

將 -10y 加到 -y。

$$-11y+15=10$$

從方程式兩邊減去 15。

$$-11y=-5$$

將兩邊同時除以 -11。

$$y=\frac{5}{11}$$

在 x=-2y+3 中以 \frac{5}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\times \frac{5}{11}+3$$

-2 乘上 \frac{5}{11}。

$$x=-\frac{10}{11}+3$$

將 3 加到 -\frac{10}{11}。

$$x=\frac{23}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{5}{11}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+2y=3,5x-y=10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 5}&-\frac{2}{-1-2\times 5}\\-\frac{5}{-1-2\times 5}&\frac{1}{-1-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 3+\frac{2}{11}\times 10\\\frac{5}{11}\times 3-\frac{1}{11}\times 10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{11}\\\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{5}{11}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+2y=3,5x-y=10$$

讓 x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$5x+5\times 2y=5\times 3,5x-y=10$$

化簡。

$$5x+10y=15,5x-y=10$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 5x+10y=15 減去 5x-y=10。

$$5x-5x+10y+y=15-10$$

將 5x 加到 -5x。 5x 和 -5x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$10y+y=15-10$$

將 10y 加到 y。

$$11y=15-10$$

將 15 加到 -10。

$$11y=5$$

將兩邊同時除以 11。

$$y=\frac{5}{11}$$

在 5x-y=10 中以 \frac{5}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x-\frac{5}{11}=10$$

將 \frac{5}{11} 加到方程式的兩邊。

$$5x=\frac{115}{11}$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{23}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{5}{11}$$