解決{l}{x+2y=10}{3y-2x=5} |Microsoft數學求解器

解 x、y

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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x+2y=10,-2x+3y=5

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

x+2y=10

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

x=-2y+10

從方程式兩邊減去 2y。

-2\left(-2y+10\right)+3y=5

在另一個方程式 -2x+3y=5 中以 -2y+10 代入 x在方程式。

4y-20+3y=5

-2 乘上 -2y+10。

7y-20=5

將 4y 加到 3y。

7y=25

將 20 加到方程式的兩邊。

y=\frac{25}{7}

將兩邊同時除以 7。

x=-2\times \frac{25}{7}+10

在 x=-2y+10 中以 \frac{25}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=-\frac{50}{7}+10

-2 乘上 \frac{25}{7}。

x=\frac{20}{7}

將 10 加到 -\frac{50}{7}。

x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}

現已成功解出系統。

x+2y=10,-2x+3y=5

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3-2\left(-2\right)}&\frac{1}{3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 10-\frac{2}{7}\times 5\\\frac{2}{7}\times 10+\frac{1}{7}\times 5\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}\\\frac{25}{7}\end{matrix}\right)

計算。

x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}

解出矩陣元素 x 和 y。

x+2y=10,-2x+3y=5

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

-2x-2\times 2y=-2\times 10,-2x+3y=5

讓 x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

-2x-4y=-20,-2x+3y=5

化簡。

-2x+2x-4y-3y=-20-5