解 x、y
x = \frac{11}{9} = 1\frac{2}{9} \approx 1.222222222
y=-\frac{1}{9}\approx -0.111111111
圖表
共享
已復制到剪貼板
y-4x=-5
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 4x。
x+2y=1,-4x+y=-5
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
x+2y=1
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
x=-2y+1
從方程式兩邊減去 2y。
-4\left(-2y+1\right)+y=-5
在另一個方程式 -4x+y=-5 中以 -2y+1 代入 x在方程式。
8y-4+y=-5
-4 乘上 -2y+1。
9y-4=-5
將 8y 加到 y。
9y=-1
將 4 加到方程式的兩邊。
y=-\frac{1}{9}
將兩邊同時除以 9。
x=-2\left(-\frac{1}{9}\right)+1
在 x=-2y+1 中以 -\frac{1}{9} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{2}{9}+1
-2 乘上 -\frac{1}{9}。
x=\frac{11}{9}
將 1 加到 \frac{2}{9}。
x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}
現已成功解出系統。
y-4x=-5
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 4x。
x+2y=1,-4x+y=-5
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{1-2\left(-4\right)}&\frac{1}{1-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\\\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}-\frac{2}{9}\left(-5\right)\\\frac{4}{9}+\frac{1}{9}\left(-5\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{9}\\-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)
計算。
x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}
解出矩陣元素 x 和 y。
y-4x=-5
考慮第二個方程式。 從兩邊減去 4x。
x+2y=1,-4x+y=-5
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-4x-4\times 2y=-4,-4x+y=-5
讓 x 和 -4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。
-4x-8y=-4,-4x+y=-5
化簡。
-4x+4x-8y-y=-4+5
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -4x-8y=-4 減去 -4x+y=-5。
-8y-y=-4+5
將 -4x 加到 4x。 -4x 和 4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-9y=-4+5
將 -8y 加到 -y。
-9y=1
將 -4 加到 5。
y=-\frac{1}{9}
將兩邊同時除以 -9。
-4x-\frac{1}{9}=-5
在 -4x+y=-5 中以 -\frac{1}{9} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
-4x=-\frac{44}{9}
將 \frac{1}{9} 加到方程式的兩邊。
x=\frac{11}{9}
將兩邊同時除以 -4。
x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}