解決{l}{x+2y=1}{-2x+y=-4} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { - 2 x + y = - 4 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=-\frac{2}{5}=-0.4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+2y=1,-2x+y=-4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+2y=1$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$x=-2y+1$$

在另一個方程式 -2x+y=-4 中以 -2y+1 代入 x在方程式。

$$-2\left(-2y+1\right)+y=-4$$

-2 乘上 -2y+1。

$$4y-2+y=-4$$

將 4y 加到 y。

$$5y-2=-4$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$5y=-2$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=-\frac{2}{5}$$

在 x=-2y+1 中以 -\frac{2}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\left(-\frac{2}{5}\right)+1$$

-2 乘上 -\frac{2}{5}。

$$x=\frac{4}{5}+1$$

將 1 加到 \frac{4}{5}。

$$x=\frac{9}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{9}{5},y=-\frac{2}{5}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+2y=1,-2x+y=-4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}-\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{2}{5}+\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{9}{5},y=-\frac{2}{5}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+2y=1,-2x+y=-4$$

讓 x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-2x-2\times 2y=-2,-2x+y=-4$$

化簡。

$$-2x-4y=-2,-2x+y=-4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2x-4y=-2 減去 -2x+y=-4。

$$-2x+2x-4y-y=-2+4$$

將 -2x 加到 2x。 -2x 和 2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4y-y=-2+4$$

將 -4y 加到 -y。

$$-5y=-2+4$$

將 -2 加到 4。

$$-5y=2$$

將兩邊同時除以 -5。

$$y=-\frac{2}{5}$$

在 -2x+y=-4 中以 -\frac{2}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x-\frac{2}{5}=-4$$

將 \frac{2}{5} 加到方程式的兩邊。

$$-2x=-\frac{18}{5}$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=\frac{9}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{9}{5},y=-\frac{2}{5}$$