解決{l}{x+2y+3=0}{4x+5y+6=0} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 5 y + 6 = 0 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+2y+3=0$$

從方程式兩邊減去 3。

$$x+2y=-3$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$x=-2y-3$$

在另一個方程式 4x+5y+6=0 中以 -2y-3 代入 x在方程式。

$$4\left(-2y-3\right)+5y+6=0$$

4 乘上 -2y-3。

$$-8y-12+5y+6=0$$

將 -8y 加到 5y。

$$-3y-12+6=0$$

將 -12 加到 6。

$$-3y-6=0$$

將 6 加到方程式的兩邊。

$$-3y=6$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=-2$$

在 x=-2y-3 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\left(-2\right)-3$$

-2 乘上 -2。

$$x=4-3$$

將 -3 加到 4。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-2\times 4}&-\frac{2}{5-2\times 4}\\-\frac{4}{5-2\times 4}&\frac{1}{5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}\left(-3\right)+\frac{2}{3}\left(-6\right)\\\frac{4}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

讓 x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$4x+4\times 2y+4\times 3=0,4x+5y+6=0$$

化簡。

$$4x+8y+12=0,4x+5y+6=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x+8y+12=0 減去 4x+5y+6=0。

$$4x-4x+8y-5y+12-6=0$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$8y-5y+12-6=0$$

將 8y 加到 -5y。

$$3y+12-6=0$$

將 12 加到 -6。

$$3y+6=0$$

從方程式兩邊減去 6。

$$3y=-6$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=-2$$

在 4x+5y+6=0 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+5\left(-2\right)+6=0$$

5 乘上 -2。

$$4x-10+6=0$$

將 -10 加到 6。

$$4x-4=0$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$4x=4$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-2$$