Solve {l}{x+15=y}{4x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 15 = y } \\ { 4 x = y } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=5$$

$$y=20$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x+15-y=0$$

從兩邊減去 15。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$x-y=-15$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$4x-y=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-y=-15,4x-y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-y=-15$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$x=y-15$$

在另一個方程式 4x-y=0 中以 y-15 代入 x在方程式。

$$4\left(y-15\right)-y=0$$

4 乘上 y-15。

$$4y-60-y=0$$

將 4y 加到 -y。

$$3y-60=0$$

將 60 加到方程式的兩邊。

$$3y=60$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=20$$

在 x=y-15 中以 20 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=20-15$$

將 -15 加到 20。

$$x=5$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=20$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x+15-y=0$$

從兩邊減去 15。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$x-y=-15$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$4x-y=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-y=-15,4x-y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-1-\left(-4\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-15\right)\\-\frac{4}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=5,y=20$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$x+15-y=0$$

從兩邊減去 15。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$x-y=-15$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 y。

$$4x-y=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-y=-15,4x-y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x-y=-15 減去 4x-y=0。

$$x-4x-y+y=-15$$

將 -y 加到 y。 -y 和 y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$x-4x=-15$$

將 x 加到 -4x。

$$-3x=-15$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=5$$

在 4x-y=0 中以 5 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$4\times 5-y=0$$

4 乘上 5。

$$20-y=0$$

從方程式兩邊減去 20。

$$-y=-20$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=20$$

現已成功解出系統。

$$x=5,y=20$$