解決{l}{t+2s=-1}{s=t+10} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { t + 2 s = - 1 } \\ { s = t + 10 } \end{array} \right.$$

解 t、s

$$t=-7$$

$$s=3$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 t。

$$s-t=10$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 t: 將 t 單獨置於等號的左邊。

$$t+2s=-1$$

從方程式兩邊減去 2s。

$$t=-2s-1$$

在另一個方程式 -t+s=10 中以 -2s-1 代入 t在方程式。

$$-\left(-2s-1\right)+s=10$$

-1 乘上 -2s-1。

$$2s+1+s=10$$

將 2s 加到 s。

$$3s+1=10$$

從方程式兩邊減去 1。

$$3s=9$$

將兩邊同時除以 3。

$$s=3$$

在 t=-2s-1 中以 3 代入 s。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 t。

$$t=-2\times 3-1$$

-2 乘上 3。

$$t=-6-1$$

將 -1 加到 -6。

$$t=-7$$

現已成功解出系統。

$$t=-7,s=3$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 t。

$$s-t=10$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-2\left(-1\right)}&\frac{1}{1-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)-\frac{2}{3}\times 10\\\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 t 和 s。

$$t=-7,s=3$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 t。

$$s-t=10$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

讓 t 和 -t 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-t-2s=-\left(-1\right),-t+s=10$$

化簡。

$$-t-2s=1,-t+s=10$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -t-2s=1 減去 -t+s=10。

$$-t+t-2s-s=1-10$$

將 -t 加到 t。 -t 和 t 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2s-s=1-10$$

將 -2s 加到 -s。

$$-3s=1-10$$

將 1 加到 -10。

$$-3s=-9$$

將兩邊同時除以 -3。

$$s=3$$

在 -t+s=10 中以 3 代入 s。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 t。

$$-t+3=10$$

從方程式兩邊減去 3。

$$-t=7$$

將兩邊同時除以 -1。

$$t=-7$$

現已成功解出系統。

$$t=-7,s=3$$