解決{l}{p+2q=4}{-3p+4q=18} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { p + 2 q = 4 } \\ { - 3 p + 4 q = 18 } \end{array} \right.$$

解 p、q

$$p=-2$$

$$q=3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 p: 將 p 單獨置於等號的左邊。

$$p+2q=4$$

從方程式兩邊減去 2q。

$$p=-2q+4$$

在另一個方程式 -3p+4q=18 中以 -2q+4 代入 p在方程式。

$$-3\left(-2q+4\right)+4q=18$$

-3 乘上 -2q+4。

$$6q-12+4q=18$$

將 6q 加到 4q。

$$10q-12=18$$

將 12 加到方程式的兩邊。

$$10q=30$$

將兩邊同時除以 10。

$$q=3$$

在 p=-2q+4 中以 3 代入 q。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 p。

$$p=-2\times 3+4$$

-2 乘上 3。

$$p=-6+4$$

將 4 加到 -6。

$$p=-2$$

現已成功解出系統。

$$p=-2,q=3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4-2\left(-3\right)}&\frac{1}{4-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 4-\frac{1}{5}\times 18\\\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 p 和 q。

$$p=-2,q=3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

讓 p 和 -3p 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-3p-3\times 2q=-3\times 4,-3p+4q=18$$

化簡。

$$-3p-6q=-12,-3p+4q=18$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -3p-6q=-12 減去 -3p+4q=18。

$$-3p+3p-6q-4q=-12-18$$

將 -3p 加到 3p。 -3p 和 3p 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-6q-4q=-12-18$$

將 -6q 加到 -4q。

$$-10q=-12-18$$

將 -12 加到 -18。

$$-10q=-30$$

將兩邊同時除以 -10。

$$q=3$$

在 -3p+4q=18 中以 3 代入 q。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 p。

$$-3p+4\times 3=18$$

4 乘上 3。

$$-3p+12=18$$

從方程式兩邊減去 12。

$$-3p=6$$

將兩邊同時除以 -3。

$$p=-2$$

現已成功解出系統。

$$p=-2,q=3$$