解決{l}{n+y=4}{2n+3y=12} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { n + y = 4 } \\ { 2 n + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

解 n、y

$$y=4$$

$$n=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$n+y=4,2n+3y=12$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 n: 將 n 單獨置於等號的左邊。

$$n+y=4$$

從方程式兩邊減去 y。

$$n=-y+4$$

在另一個方程式 2n+3y=12 中以 -y+4 代入 n在方程式。

$$2\left(-y+4\right)+3y=12$$

2 乘上 -y+4。

$$-2y+8+3y=12$$

將 -2y 加到 3y。

$$y+8=12$$

從方程式兩邊減去 8。

$$y=4$$

在 n=-y+4 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 n。

$$n=-4+4$$

將 4 加到 -4。

$$n=0$$

現已成功解出系統。

$$n=0,y=4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$n+y=4,2n+3y=12$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 4-12\\-2\times 4+12\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 n 和 y。

$$n=0,y=4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$n+y=4,2n+3y=12$$

讓 n 和 2n 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$2n+2y=2\times 4,2n+3y=12$$

化簡。

$$2n+2y=8,2n+3y=12$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2n+2y=8 減去 2n+3y=12。

$$2n-2n+2y-3y=8-12$$

將 2n 加到 -2n。 2n 和 -2n 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y-3y=8-12$$

將 2y 加到 -3y。

$$-y=8-12$$

將 8 加到 -12。

$$-y=-4$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=4$$

在 2n+3y=12 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 n。

$$2n+3\times 4=12$$

3 乘上 4。

$$2n+12=12$$

從方程式兩邊減去 12。

$$2n=0$$

將兩邊同時除以 2。

$$n=0$$

現已成功解出系統。

$$n=0,y=4$$