解決{l}{mx-y-3m+1=0}{x+my-3m-1=0} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { m x - y - 3 m + 1 = 0 } \\ { x + m y - 3 m - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

解 x、y (復數求解)

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

$$m\neq -i\text{ and }m\neq i$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$mx-y+1-3m=0$$

從方程式兩邊減去 -3m+1。

$$mx-y=3m-1$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$mx=y+3m-1$$

將兩邊同時除以 m。

$$x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)$$

\frac{1}{m} 乘上 y+3m-1。

$$x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}$$

在另一個方程式 x+my-3m-1=0 中以 \frac{y-1+3m}{m} 代入 x在方程式。

$$\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0$$

將 \frac{y}{m} 加到 my。

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0$$

將 3-\frac{1}{m} 加到 -3m-1。

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0$$

從方程式兩邊減去 2-\frac{1}{m}-3m。

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}$$

將兩邊同時除以 m+\frac{1}{m}。

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

在 x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m} 中以 \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}$$

\frac{1}{m} 乘上 \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1}。

$$x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}$$

將 3-\frac{1}{m} 加到 \frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)}。

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

讓 mx 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 m。

$$mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0$$

化簡。

$$mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 mx-y+1-3m=0 減去 mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0。

$$mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

將 mx 加到 -mx。 mx 和 -mx 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

將 -y 加到 -m^{2}y。

$$\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

將 -3m+1 加到 m\left(3m+1\right)。

$$\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0$$

從方程式兩邊減去 -2m+1+3m^{2}。

$$\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1$$

將兩邊同時除以 -1-m^{2}。

$$y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

在 x+my-3m-1=0 中以 -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0$$

m 乘上 -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}}。

$$x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0$$

將 -\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}} 加到 -3m-1。

$$x-\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)}=0$$

將 \frac{2m+3m^{2}+1}{\left(m+i\right)\left(m-i\right)} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{\left(m-i\right)\left(m+i\right)},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

解 x、y

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$mx-y+1-3m=0$$

從方程式兩邊減去 -3m+1。

$$mx-y=3m-1$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$mx=y+3m-1$$

將兩邊同時除以 m。

$$x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)$$

\frac{1}{m} 乘上 y+3m-1。

$$x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}$$

在另一個方程式 x+my-3m-1=0 中以 \frac{y-1+3m}{m} 代入 x在方程式。

$$\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0$$

將 \frac{y}{m} 加到 my。

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0$$

將 3-\frac{1}{m} 加到 -3m-1。

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0$$

從方程式兩邊減去 2-\frac{1}{m}-3m。

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}$$

將兩邊同時除以 m+\frac{1}{m}。

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

在 x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m} 中以 \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}$$

\frac{1}{m} 乘上 \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1}。

$$x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}$$

將 3-\frac{1}{m} 加到 \frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)}。

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

讓 mx 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 m。

$$mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0$$

化簡。

$$mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 mx-y+1-3m=0 減去 mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0。

$$mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

將 mx 加到 -mx。 mx 和 -mx 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

將 -y 加到 -m^{2}y。

$$\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

將 -3m+1 加到 m\left(3m+1\right)。

$$\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0$$

從方程式兩邊減去 -2m+1+3m^{2}。

$$\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1$$

將兩邊同時除以 -1-m^{2}。

$$y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

在 x+my-3m-1=0 中以 -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0$$

m 乘上 -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}}。

$$x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0$$

將 -\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}} 加到 -3m-1。

$$x-\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}=0$$

將 \frac{2m+3m^{2}+1}{1+m^{2}} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$