解決{l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

解 x、y (復數求解)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

將 ny 加到方程式的兩邊。

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

將兩邊同時除以 m。

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

\frac{1}{m} 乘上 ny+m^{2}+n^{2}。

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

在另一個方程式 x+y=2m 中以 \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} 代入 x在方程式。

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

將 \frac{ny}{m} 加到 y。

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

從方程式兩邊減去 m+\frac{n^{2}}{m}。

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

將兩邊同時除以 \frac{m+n}{m}。

$$y=m-n$$

在 x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m 中以 m-n 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n}{m} 乘上 m-n。

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

將 m+\frac{n^{2}}{m} 加到 \frac{n\left(m-n\right)}{m}。

$$x=m+n$$

現已成功解出系統。

$$x=m+n,y=m-n$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=m+n,y=m-n$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

讓 mx 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 m。

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

化簡。

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} 減去 mx+my=2m^{2}。

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

將 mx 加到 -mx。 mx 和 -mx 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

將 -ny 加到 -my。

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

將 m^{2}+n^{2} 加到 -2m^{2}。

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

將兩邊同時除以 -m-n。

$$y=m-n$$

在 x+y=2m 中以 m-n 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+m-n=2m$$

從方程式兩邊減去 m-n。

$$x=m+n$$

現已成功解出系統。

$$x=m+n,y=m-n$$

解 x、y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

將 ny 加到方程式的兩邊。

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

將兩邊同時除以 m。

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

\frac{1}{m} 乘上 ny+m^{2}+n^{2}。

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

在另一個方程式 x+y=2m 中以 \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} 代入 x在方程式。

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

將 \frac{ny}{m} 加到 y。

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

從方程式兩邊減去 m+\frac{n^{2}}{m}。

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

將兩邊同時除以 \frac{m+n}{m}。

$$y=m-n$$

在 x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m 中以 m-n 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n}{m} 乘上 m-n。

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

將 m+\frac{n^{2}}{m} 加到 \frac{n\left(m-n\right)}{m}。

$$x=m+n$$

現已成功解出系統。

$$x=m+n,y=m-n$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=m+n,y=m-n$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

讓 mx 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 m。

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

化簡。

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} 減去 mx+my=2m^{2}。

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

將 mx 加到 -mx。 mx 和 -mx 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

將 -ny 加到 -my。

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

將 m^{2}+n^{2} 加到 -2m^{2}。

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

將兩邊同時除以 -m-n。

$$y=m-n$$

在 x+y=2m 中以 m-n 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+m-n=2m$$

從方程式兩邊減去 m-n。

$$x=m+n$$

現已成功解出系統。

$$x=m+n,y=m-n$$