解決{l}{m-3n=1}{m+3n=5} |Microsoft數學求解器

$$\left. \begin{array} { l } { m - 3 n = 1 } \\ { m + 3 n = 5 } \end{array} \right.$$

解 m、n

$$m=3$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$m-3n=1,m+3n=5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 m: 將 m 單獨置於等號的左邊。

$$m-3n=1$$

將 3n 加到方程式的兩邊。

$$m=3n+1$$

在另一個方程式 m+3n=5 中以 3n+1 代入 m在方程式。

$$3n+1+3n=5$$

將 3n 加到 3n。

$$6n+1=5$$

從方程式兩邊減去 1。

$$6n=4$$

將兩邊同時除以 6。

$$n=\frac{2}{3}$$

在 m=3n+1 中以 \frac{2}{3} 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$m=3\times \frac{2}{3}+1$$

3 乘上 \frac{2}{3}。

$$m=2+1$$

將 1 加到 2。

$$m=3$$

現已成功解出系統。

$$m=3,n=\frac{2}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$m-3n=1,m+3n=5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5\\-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 m 和 n。

$$m=3,n=\frac{2}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$m-3n=1,m+3n=5$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 m-3n=1 減去 m+3n=5。

$$m-m-3n-3n=1-5$$

將 m 加到 -m。 m 和 -m 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-3n-3n=1-5$$

將 -3n 加到 -3n。

$$-6n=1-5$$

將 1 加到 -5。

$$-6n=-4$$

將兩邊同時除以 -6。

$$n=\frac{2}{3}$$

在 m+3n=5 中以 \frac{2}{3} 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$m+3\times \frac{2}{3}=5$$

3 乘上 \frac{2}{3}。

$$m+2=5$$

從方程式兩邊減去 2。

$$m=3$$

現已成功解出系統。

$$m=3,n=\frac{2}{3}$$